添字付けされたデータ族は次のようなシグネチャによって導入される。

data family GMap k :: * -> *

この特別なfamilyが、族を標準的なデータ宣言から区別する。結果の種注釈は省略可能であり、省かれた場合は通常同様に*が使われる。例を示す。

data family Array e

名前の付いた引数にも必要なら明示的な種シグネチャを与えることができる。[http://www.haskell.org/ghc/docs/latest/html/users_guide/gadt.html GADT宣言]の場合と同様、名前付き引数は完全に省略可能なので、Arrayを次のように宣言することもできる。

data family Array :: * -> *

データとnewtypeの族についてのインスタンス宣言は、通常のデータおよびnewtypeの宣言と良く似ている。違いが二つだけあって、dataあるいはnewtypeキーワードの後にinstanceが書かれることと、型引数の一部または全てが変数でない型であってもよいということである。ただし、これにforall型や型シノニム族が含まれていてはいけない。しかし、一般にデータ族が型パラメタ中にあってもよく、型シノニムも、それが完全に適用されていて、しかも展開結果が合法であるなら、認められる。これはクラスインスタンスのパラメタにおいて型シノニムが現れてよい条件と全く同じである。例として、GMapのEitherインスタンスは次のようになる。

data instance GMap (Either a b) v = GMapEither (GMap a v) (GMap b v)

この例では、宣言にただ一つのvariantしかないが、一般にはいくつあってもよい(訳注: データ構築子が複数あってもいいということ？)。

データインスタンス宣言およびnewtypeインスタンス宣言は適切な族宣言がスコープにある場合のみ認められる。これはちょうど、クラスインスタンス宣言にクラス宣言が可視であることが必要なのと同じである。さらに、各インスタンス宣言は、その族宣言によって決まる種に準拠していなければならない。つまり、インスタンス宣言のパラメタの個数は、その族の種から決まるアリティと一致するということである。

データ族インスタンス宣言は、通常のdataやnewtype宣言が持つ表現力を完全に利用できる。

データ族が最上位の宣言によって定義されている場合でも、異なる族インスタンスに対して異なる計算を行う関数は相変らず型クラスのメソッドとして定義されねばならないことがある。特に、以下は不可能である。

data family T a
data instance T Int  = A
data instance T Char = B
foo :: T a -> Int
foo A = 1             -- 間違い: この二つの等式をいっしょにすると...
foo B = 2             -- ...型エラーが発生する

代わりに、fooをクラスの演算として書かなければならないだろう。

class Foo a where
  foo :: T a -> Int
instance Foo Int where
  foo A = 1
instance Foo Char where
  foo B = 2

(GADT(一般化代数的データ型)の提供する機能を見ると、上のような定義が可能であるべきだと思えるかもしれない。しかし、型族は、GADTとは対照的に、開かれている。つまり、常に新しいインスタンスを加えることが可能な(しかも別モジュールでかもしれない)のである。異なるデータインスタンスに跨がるパターン照合に対応するには、一種の拡張可能なcase構造が必要になることだろう。)

一つのプログラムの中で、あるデータ族のインスタンス宣言に少しでも重複部分があってはならない。このことは関連族であるか、そうでないかによらない。型クラスのインスタンスの場合と異なり、これは単なる整合性の問題ではなく、型安全性の問題である。

添字付けされた開型族は次のようなシグネチャによって導入される。

type family Elem c :: *

この特別なfamilyによって、通常の型宣言と族宣言が区別される。結果の種注釈は省略可能であり、通常と同様に、省略された場合は*が使われる。例えば次のようになる。

type family Elem c

必要ならパラメタにも明示的な種シグネチャを付けることができる。型族宣言におけるパラメタの数をその族のアリティと呼び、その型族の適用は全てそのアリティに対して完全に飽和していなければ(訳注: つまり部分適用であっては)ならない。この制限は通常の型シノニムにはないものである。これにより、型族の種を知っただけではその族のアリティを決定できないので、型族の適用が正しいものかどうかも一般的には判断できない。例として、次の宣言を考える。

type family F a b :: * -> *   -- Fの種は全体として見れば * -> * -> * -> *
                              -- しかし、アリティは2である

この宣言のもとで、以下に正しい型と間違った型の例を示す。

F Char [Int]       -- 正 種: * -> *
F Char [Int] Bool  -- 正 種: *
F IO Bool          -- 誤 最初の引数で種が不一致
F Bool             -- 誤 適用が飽和していない

型族のインスタンス宣言は通常の型シノニム宣言によく似ている。違いは、typeキーワードの後にinstanceが書かれることと、型引数の一部または全部が変数でなくてもよいことの二点だけである。ただし、型引数は、forall型や型シノニム族を含んでいてはならない。一方、一般にデータ族はあってもよく、型シノニムも、完全に適用されており、かつ展開結果が合法であるなら認められる。これらはデータインスタンスの場合と全く同じ制限である。例として、[e]のElemインスタンスは次のようになる。

type instance Elem [e] = e

型族インスタンス宣言は、適切な族宣言がスコープにあるときのみ認められる。これはちょうど、クラスインスタンスにはクラス宣言が可視であることが必要なのと同じである。さらに、個々のインスタンス宣言は、その族宣言によって決まる種に準拠していなければならず、インスタンス宣言の型パラメタの数は族宣言の型パラメタの数と一致していなければならない。最後に、型インスタンスの右辺は単相型でなければ(つまり、forallを含んでいては)ならず、また飽和した通常の(訳注: vanilla; 型シノニム族でない)型シノニムを全て展開した時点で、族シノニム以外のシノニムが残っていてはならない。

型族はwhere節を使って定義することもでき、その場合その型族の等式を全て定義する。例えば、

type family F a where
  F Int  = Double
  F Bool = Char
  F a    = String

閉型族の適用を単純化する際には、その型族の等式を上から順に試す。この例では、F Intを単純化するとDoubleになり、F BoolがCharになり、それ以外の、IntでもBoolでもないことが分かっている全ての型aについて、F aがStringになるように、Fのインスタンスを宣言している。注意点として、最後の選択肢を選ぶ際には、aがIntともBoolとも単一化できないことをGHCが確認できなければならない。プログラマがコード中に単にF aと書いた場合、GHCはその型を単純化することはできないだろう。結局のところ、後でaはIntに具体化されるかもしれないのである。

閉型族の等式には、開型族の等式と同じ制限が適用される。

許される型インスタンスとそうでない型インスタンスの例をいくつか挙げる。

type family F a :: *
type instance F [Int]              = Int         -- OK!
type instance F String             = Char        -- OK!
type instance F (F a)              = a           -- 誤: 型パラメタが型族に言及している
type instance F (forall a. (a, b)) = b           -- 誤: 型パラメタの中にforall型がある
type instance F Float              = forall a.a  -- 誤: 右辺がforall型であってはならない
type family H a where                            -- OK!
  H Int  = Int
  H Bool = Bool
  H a    = String
type instance H Char = Char       -- 誤: 閉型族のインスタンスは持てない

type family G a b :: * -> *
type instance G Int            = (,)     -- 誤: 引数は二つでないといけない
type instance G Int Char Float = Double  -- 誤: 引数は二つでないといけない

曖昧な書き換え系を定義することがないようにするために、型族の等式には、何らかの制限が課されなければならない。このため、開型族の等式は互換性を持つ(compatible)ことを要求される。二つの型パターンは、以下が成り立つなら互換性を持つ。

二つの型が分離的であると見做されるのは、どのような可能な置換に関しても、これらの型の簡約結果が同じにならないときである。

「互換性を持つ」ことの最初の条件は比較的分かり易い。これが言っているのは、二つの異なる型族インスタンスのパターンは重複してはならないということである。例えば、以下のものは許されない。

type instance F Int = Bool
type instance F Int = Char

二番目の条件はもう少し興味深い。これが言っているのは、二つの型族インスタンスに重複があるとき、その重複部分において右辺が一致するなら、これらは許される、ということである。例を挙げる。

type instance F (a, Int) = [a]
type instance F (Int, b) = [b]   -- 重複が許される

type instance G (a, Int)  = [a]
type instance G (Char, a) = [a]  -- 非合法な重複、[Char] /= [Int]であるため

この互換性条件は、型族が関連型であるか否かにかかわらず適用されることに注意。また、これは単に整合性の問題にとどまらず、型安全性の問題であることにも注意。

「互換性」の定義には「分離性」の概念が使われるが、この概念の定義は型族の簡約に依存している。上で述べた「分離性」の定義はこのままでは検査不可能なので、以下の近似を使う。すなわち、二つの型が分離的であると見做されるのは、この二つの型を単一化することができず、さらに、無限の型を許しても単一化ができない場合である。単一化の結果が無限であることを許すので、以下の二つのインスタンスは許されない。

type instance H x   x = Int
type instance H [x] x = Bool

xを無限にネストしたリストで置き換えると、この二つのインスタンスの型パターンは等しくなる。このようなインスタンスを拒絶することは型健全性のために必要である。

互換性は閉型族にも影響する。閉型族の適用を単純化する時、GHCがある選択肢を選ぶにあったっては、それより前の等式で互換性がないものがどれも適用できないことが確定していることを要求する。例を挙げる。

type family F a where
  F Int = Bool
  F a   = Char

type family G a where
  G Int = Int
  G a   = a

Fの定義において、二つの等式には互換性がない。この二つのパターンは分離的でないし、にもかかわらずこれらの右辺は一致しない。このため、GHCは、二番目の等式を選ぶ前に、最初の等式が適用できないことを確認する必要がある。よって、F aという型は単純化されない。Doubleに単純化されるのはF Doubleのような型だけである。他方、Gでは、二つの等式に互換性がある。よって、GHCは、二番目の等式に注目している時には最初の等式を無視できる。このため、G aはaへと単純化される。

ただし、GHCiにおける重複の規則については2.4.4. 型、クラスおよびその他の宣言を見よ。

型族の存在下での型推論が決定可能であることを保証するため、型インスタンス宣言の形式に追加で制限を課す必要がある。(“Type Checking with Open Type Functions”のDefinition 5 (Relaxed Condition)も参照)。インスタンス宣言の一般形式は次の通りである。

type instance F t1 .. tn = t

ここで、t中のすべての型族適用(G s1 .. sm)に対して、以下のことを要求する。

これらの制限は容易に検査することができ、型インスタンスが停止することを保証する。しかし、a ~ [F a]のように、型構築子が族適用とデータ構築子適用の下にある、いわゆる「ループ的同値」の存在下では、型推論の完全性を保証するのに足りない。詳細については上で挙げた論文を参照のこと。

-XUndecidableInstancesオプションがコンパイラに渡されると、上記の制約は強制されず、型推論中に型族の正規化が停止することを保証するのはプログラマの責任になる。

class GMapKey k where
  data GMap k :: * -> *
  ...

class Collects ce where
  type Elem ce :: *
  ...

class C a b c where
  type T c a x :: *

関連データ族インスタンスや関連型シノニムインスタンスが型クラスインスタンスの中で宣言される場合、族インスタンスにおけるinstanceキーワードは使わなくても良い(使っても良い)。

instance (GMapKey a, GMapKey b) => GMapKey (Either a b) where
  data GMap (Either a b) v = GMapEither (GMap a v) (GMap b v)
  ...

instance (Eq (Elem [e])) => Collects ([e]) where
  type Elem [e] = e
  ...

関連族インスタンスに関して最も重要な点は、クラスパラメタに対応する型添字が、インスタンス頭部で与えられる型と同一でなければならないということである。この例ではこれはGMapの第一引数であるEither a bであるが、これは(一つしかない)クラスパラメタと同じになっている。

関連族のインスタンスは、その族が宣言されたクラスのインスタンス宣言の一部としてしか現れることができない。これはクラスのメソッドの等式と同じである。また、これもメソッドの扱いと対応するが、クラスインスタンスにおいて関連型の宣言を省略することができる。関連族インスタンスが省略された場合、それに対応するインスタンス型は無内容(not inhabited)になる。すなわち、undefinedなどの発散する式のみがその型を持てる。

珍しいことだが、単一のインスタンス宣言の中に、ある関連族のインスタンスが複数あってもよい。たとえば、次のものは合法である。

instance GMapKey Flob where
  data GMap Flob [v] = G1 v
  data GMap Flob Int = G2 Int
  ...

ここでは二つのデータインスタンス宣言を与えている。片方では最後のパラメタが[v]であり、もう片方ではIntである。これ以降に(GMap Flob ...)のインスタンスを与えることができないので、この機能は、自由な添字変数の種が(*とは違って)有限個の選択肢から成る場合に最も便利である。

関連型を定義するクラスは、関連型インスタンスのためにデフォルトを指定することができる。よってこれは問題ない。

class IsBoolMap v where
  type Key v
  type instance Key v = Int

  lookupKey :: Key v -> v -> Maybe Bool

instance IsBoolMap [(Int, Bool)] where
  lookupKey = lookup

このinstanceキーワードは無くても良い。

重複部分がない限り、一つの型に複数のデフォルトがあっても良い。

class C a where
  type F a b
  type F a Int  = Bool
  type F a Bool = Int

関連データ型についてはデフォルト宣言は認められない。

クラスパラメタが関連族インスタンスの右辺から可視かどうかは、そのデータ族のパラメタのみによって決まる。例として、次の単純なクラス宣言を考える。

class C a b where
  data T a

二つのクラスパラメタのうち一つだけがデータ族のパラメタになっている。このため、次のインスタンス宣言は不正である。

instance C [c] d where
  data T [c] = MkT (c, d)    -- 間違ってるよ!!  「d」はスコープにない

ここでは、データインスタンスの左辺に現れない型変数dが右辺で言及されている。このようなデータインスタンスを認めると型安全性を犠牲にすることになるので、これは認められていない。

関連型インスタンスおよび関連データインスタンス宣言は、外側のインスタンスが持つ文脈を一切受け継がない。型インスタンス宣言は、文脈を持つとしたらどういう意味なのか明確でない。データインスタンス宣言については、全ての構築子に関して文脈を繰り返すことをユーザが望んでいるとは考えにくい。この文脈が便利である可能性がある唯一の場所は関連データインスタンスに付属するderiving節の中である。しかし、ここにおいてさえ、外側のインスタンス文脈が果たすべき役割ははっきりしていない。よって、明快さのため、我々は上の規則に従い、外側のインスタンス文脈を無視する。自動導出インスタンスに対して自明でない文脈を使う必要があるときは、独立derivingを(最上位で)使ってほしい。

ここまで使ってきたGMapKeyクラスの例を思い出して欲しい。

class GMapKey k where
  data GMap k :: * -> *
  insert :: GMap k v -> k -> v -> GMap k v
  lookup :: GMap k v -> k -> Maybe v
  empty  :: GMap k v

instance (GMapKey a, GMapKey b) => GMapKey (Either a b) where
  data GMap (Either a b) v = GMapEither (GMap a v) (GMap b v)
  ...method declarations...

以下に、エクスポートリストいくつかと、その意味を記す。

注意点を二つ。

クラスインスタンスと同様に、族インスタンスは暗黙にインポートされる。ただし、これはインスタンスの頭部についてだけ適用される。インスタンスが定義するデータ構築子には適用されない。